Мисоли зеринро Нурмаҳмад Аминов пешниҳод кардааст.
Айнияти ададиро исбот мекунем:
\(\underbrace{44...4}_{n-1\text{-то}}3\underbrace{55...5}_{n-1\text{-то}}6 + \underbrace{88...8}_{n\text{-то}}= \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N\)
Ҳал. Тарафи чапи айниятро табдил дода ҳосил мекунем:
\(\underbrace{44...4}_{n-1\text{-то}}\cdot 10^{n+1} + 3\cdot 10^n + \underbrace{55...5}_{n-1\text{-то}} \cdot 10 + 6 + \underbrace{88...8}_{n\text{-то}}= \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N;\)
\(\frac{4}{9}\cdot\underbrace{99...9}_{n-1\text{-то}}\cdot 10^{n+1} + 3\cdot 10^n + \frac{50}{9}\cdot\underbrace{99...9}_{n-1\text{-то}} + \\ + 6 + \frac{8}{9}\cdot\underbrace{99...9}_{n\text{-то}}= \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
Акнун аз баробарии
\((*) \quad 10^n - 1 = \underbrace{99...9}_{n\text{-то}}\)
истифода бурда, бори дигар табдил дода, ҳосил мекунем \((n \in N)\):
\(\frac{4}{9}\cdot\left(10^{n-1} - 1\right)\cdot 10^{n+1} + 3\cdot 10^n + \frac{50}{9}\cdot\left(10^{n-1} - 1\right) + \\ + 6 + \frac{8}{9}\cdot\left(10^n - 1\right) = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
Қавсҳоро мекушоем:
\(\frac{4\cdot 10^{2n} - 4\cdot 10^{n+1}}{9} + 3\cdot 10^n + \frac{50\cdot 10^n - 50}{9} + \\ + 6 + \frac{8 \cdot 10^n - 8}{9} = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
Махраҷи умумӣ медиҳем:
\(\frac{4\cdot 10^{2n} - 4\cdot 10^{n+1} + 27\cdot 10^n + 50\cdot 10^n - 50}{9} + \\ + \frac{54 + 8 \cdot 10^n - 8}{9} = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
\(\frac{4\cdot 10^{2n} - 40\cdot 10^n + 27\cdot 10^n + 50\cdot 10^n + 8 \cdot 10^n - 4}{9} = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
\(\frac{4\cdot 10^{2n} - 40\cdot 10^n + 40\cdot 10^n - 4}{9} = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
\(\frac{4\cdot 10^{2n} - 4}{9} = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
\(\frac{4\cdot\left(10^{2n} - 1\right)}{9} = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
Бори дигар аз баробарии (*) истифода мебарем ва ҳосил мекунем:
\(\frac{4}{9}\cdot\underbrace{99...9}_{2n\text{-то}} = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
\(\frac{4}{9}\cdot 9 \cdot\underbrace{11...1}_{2n\text{-то}} = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
\(4 \cdot\underbrace{11...1}_{2n\text{-то}} = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
\(\underbrace{44...4}_{2n\text{-то}} = \underbrace{44...4}_{2n\text{-то}}, \quad n \in N.\)
Исбот шуд.